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Écrire le nombre complexe suivant sous forme algébrique : $\left ( 4+i \right )^{2}$ La forme algébrique de \ $\left ( 4+i \right )^{2}$, est : $\left ( 4+i \right )^{2}=16+8i-1=15+8i$ Résoudre l' équation suivante dans $\mathbb{C}$. $z^{2}+\left ( 2-3i \right )z-5\left (1+i \right )=0$. Calculons le discriminant de l’équation : $\Delta =\left ( 2-3i \right )^{2}-4\times \biggl [-5(1+i) \biggr ]=15+8i$, ainsi les solutions de l’équation sont : $z_{1}=\dfrac{-(2-3i)-(4+i)}{2}=-3+i$, et $z_{2}=\dfrac{-(2-3i)+(4+i)}{2}=z_{1}=1+2i$ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ respectivement d'affixes $a=1+2i$, $b=-3+i$ et $c=6i$. Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe : $\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{6i-1-2i}{-3i+1-1-2i}=\dfrac{-(4i-1)(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\dfrac{-17i}{17}=-i$, et par conséquent la forme trigonométrique est : $\dfrac{c-a}{b-a}=\biggl [ 1;-\dfrac{\pi }{2} \biggr ]$ Quelle est la nature du triangle $ABC$. Justifier. $\left\{\begin{matrix} \left |\dfrac{c-a}{b-a} \right |=1\Rightarrow AC=AB \Rightarrow \text{ABC triangle isocèle en A}\\ \left ( \widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}} \right )=arg\biggl(\dfrac{c-a}{b-a}\biggr) \equiv -\dfrac{\pi }{2}\biggl [ 2\pi \biggr ] \Rightarrow \text{ABC est triangle rectangle en A} \end{matrix}\right. $ $\Rightarrow$ Ce qu'il en résulte que $ABC$ est un triangle isocèle rectangle en $A$